Elementare Zahlentheorie - Bruchrechnung

Einführung in die Bruchrechnung

Bei der Bruchrechnung geht es darum, Brüche zu kürzen oder zu erweitern, um letztendlich eine kürzere und somit überschaubarere Schreibweise für den selben Term zu erhalten. Oft versucht man in der Mathematik das Rechnen mit Dezimalzahlen zu vermeiden, solange die Rechnung mit Brüchen realisierbar bleibt. Erst zum Schluß wird dann bei Bedarf das eigentliche Ergebnis als Dezimalzahl ausgegeben.
Warum das so ist, läßt sich recht einfach erklären. Wenn man z.B. den Bruch 1/3 als Dezimalzahl schreibt, so erhält man ein periodisches Ergebnis, welches man zwangsläufig aus Platz- oder Speichergründen (in Rechnern) nach ein paar Stellen runden muß. Hat man umfangreiche Aufgaben mit vielen Zwischenergebnissen, die alle gerundet werden, so kann das Endergebnis durchaus erheblich vom echten Ergebnis abweichen.
Kommen wir direkt zur Bruchrechnung. Die Zahl unter dem Bruchstrich heißt Nenner (sie nennt die Grundlage des Bruches) und die Zahl über dem Bruchstrich heißt Zähler (sie zählt die Anzahl der Nenner).

Brüche kürzen

Um einen Bruch zu kürzen, müssen wir nach gemeinsamen Teilern (Primfaktoren) in Zähler und Nenner suchen. Bei überschaubaren Zahlen kann man dies oft durch Hinsehen erreichen, aber auch das muss geübt werden!

Bsp. 1:
210/330 Zähler und Nenner sind offensichtlich durch 10 teilbar und beide haben eine durch 3 teilbare Quersumme. Demzufolge hat man die Primfaktoren 2, 3 und 5. Durch diese wird gekürzt und man erhält 7/11. Nunmehr stehen im Zähler und im Nenner 2 unterschiedliche Primzahlen, weiteres Kürzen ist also nicht möglich. Das Ergebnis ist 210/330=7/11.

Bsp. 2:
819/1197 Zähler und Nenner besitzen eine durch 9 teilbare Quersumme, man kürzt durch 9 und erhält 91/133. An der Stelle probieren wir ein wenig - die Primzahlen 2, 3, 5 sind offensichtlich uninteressant, bei der 7 haben wir aber schon den nächsten gemeinsamen Teiler gefunden und erhalten gekürzt 13/19, also wieder im Nenner und Zähler jeweils eine Primzahlen. Das Ergebnis lautet somit 819/1197=13/19.

Euklidischer Algorithmus

Bereits an dieser Stelle wird es offensichtlich, daß man zum Kürzen immer nach dem größten gemeinsamen Teiler sucht - dem ggT. Dieser ggT ist das Produkt aller gemeinsamen Primfaktoren von Zähler und Nenner in einem Bruch.
Um den ggT zu ermitteln, kann man wie zuvor vorgehen und probieren. Hat man aber sehr große und schwer überschaubare Zahlen oder möchte man ein Programm schreiben, welches dieses Problem zügig lösen kann, so benötigt man ein Verfahren, welches schneller zum Ziel führt. Dieses Verfahren wurde bereits 325 v.u.Z. von Euklid niedergeschrieben und nennt sich daher Euklidischer Algorithmus.
Verbal beschrieben funktioniert der Euklidische Algorithmus folgendermaßen: man nimmt die größere Zahl (a) und dividiert sie durch die kleinere (b). Jetzt wird b zu a und der Rest der Division zu b. Die Division und Vertauschung setzt man solange fort, bis der Rest der Division 0 wird. Der letzte Rest, also auch das aktuelle b, ist der gesuchte ggT.

Bsp. 3:

a     b     e      m
210 : 126 = 1 Rest 84
126 :  84 = 1 Rest 42
 84 :  42 = 2 Rest  0

Somit gilt ggT(210,126)=42 und als Bruch erhält man 126/210=(126:42)/(210:42)=3/5

Bsp. 4:

a     b     e      m
210 : 210 = 1 Rest 0

Es handelt sich um einen Sonderfall, ggT(210,210)=210 und somit 210/210=1

Bsp. 5:

a      b     e       m
2567 : 125 = 20 Rest 67
 125 :  67 =  1 Rest 58
  67 :  58 =  1 Rest  9
  58 :   9 =  6 Rest  4
   9 :   4 =  2 Rest  1
   4 :   1 =  4 Rest  0

Es ergibt sich ggT(2567,125)=1, die beiden Zahlen sind also teilerfremd. Mit einem geschulten Blick hätte man dies auch vorher gesehen, denn 125=5*5*5 und 5 ist kein Teiler von 2567.

Zusammenfassen von Brüchen

Beim Rechnen mit Brüchen muß man oft zwei Brüche zusammenfassen. Haben beide den gleichen Nenner, so kann man die Zähler einfach addieren (bzw. subtrahieren, wenn ein negatives Vorzeichen vorhanden ist). Haben jedoch beide Nenner einen unterschiedlichen Wert, so muß man sie auf einen gleichen Nenner bringen - den Hauptnenner. Dazu muß man wenigstens einen der beiden Brüche kürzen oder erweitern. Das Kürzen von Brüchen ist oben gezeigt, das Erweitern ist nichts weiter, als die entgegengesetzte Operation. Wenn man z.B. 8/9 mit 2 erweitert, so erhält man 16/18.
Dieser Teilbereich der Bruchrechnung ist extrem wichtig und sollte umfangreich geübt werden, denn einerseits sind die obigen Grundlagen hier enthalten und andererseits beruhen spätere Probleme in der Mathematik sehr oft gerade auf der Bruchrechnung. Wichtig ist, daß man die heute sehr beliebten Taschenrechner nach Möglichkeit zur Probe verwendet, Kopfrechnen geht für viele Aufgaben schneller.

Bsp. 6:

x=4/7+5/7
 =9/7

Beide Brüche besitzen den selben Nenner, die Zähler können also einfach addiert werden.

Bsp. 7:

x=15/12-3/12
 =1

Wir haben wieder einen gleichen Hauptnenner, rechnen also 15-3=12 aus. Somit ergibt sich 12/12=1 als Ergebnis.

Bsp. 8:

x=24/15+7/3
 =24/15+(5*7)/(5*3)
 =24/15+35/15
 =59/15

Der 1. Bruch hat im Nenner die 15, der 2. Bruch die 3. Man muß also als erstes beide Brüche auf den gleichen Hauptnenner bringen. In diesem Fall ist leicht zu sehen, daß der 2. Bruch mit 5 erweitert werden muß, um auf eine 15 im Nenner zu kommen. Nach der Addition muß man noch prüfen, ob man das Ergebnis kürzen kann. Da 4*15=60 und somit der Nachfolger von 59 ist, kann keine Primzahl existieren, die beide Zahlen teilt.

Bsp. 9:

x=189/27-123/12

Der Nenner des 1. Bruchs ist 27=3*3*3, der des 2. Bruchs ist 12=2*2*3. Daraus folgt, daß der 1. Bruch mit 2*2=4 und der 2. Bruch mit 3*3=9 erweitert werden muß - eine 3 als Primfaktor ist bereits in beiden Nennern vorhanden - diese ist der ggT der beiden Nenner.